O Programa de Verão do Instituto de Matemática da UFRJ

Durante os meses de Janeiro e Fevereiro de cada ano o instituto de Matemática mantém o seu Programa de Verão. O bom desempenho neste Programa de Verão é um dos critérios para a alocação de bolsas e seleção de alunos para a pós-graduação do IM-UFRJ. Além da possibilidade de contar com bolsas de doutorado e mestrado, os alunos selecionados para os programas de pós-graduação do IM-UFRJ dispõem de instalações que lhes permitem amplas possibilidades de realizar seus estudos dentro do ambiente acadêmico da UFRJ.

Programa de Verão 2005

Período de inscrição: 01 de outubro a 26 de novembro de 2004

Documentos: Cópia do histórico escolar,  uma foto 3x4, ficha de inscrição, cartas de recomendação (apenas  para candidatos à bolsa de verão).

Disciplinas oferecidas:

1. Nivelamento:

Introdução à Análise Real
Início do curso: 03 de janeiro.
Professor:  Prof. Wladimir Neves (IM/UFRJ)
Pré-Requisitos: Cálculo I e II ou equivalentes.
Horário: 2 ª, 4ª, 6ª, 10:00h-12:00h.
Sala: B-110, Bloco B, Centro de Tecnologia.
Bibliografia:
Curso de Análise, Vol. I., Elon Lages Lima.
Programa: Conjuntos e funções. Conjuntos finitos, enumeráveis e não enumeráveis, números reais. Sequências e séries de números reais. Topologia da reta. Limites de funções. Funções contínuas. Derivadas e Integrais.

Introdução à Probabilidade
Início do curso: 03 de janeiro.
Professor: Prof. Fernando Moura (IM-UFRJ)
Pré-Requisitos: Cálculo I e II ou equivalentes.
Horário: 2 ª, 4ª, 6ª, 08:00h-10:00h.
Sala: B-110, Bloco B, Centro de Tecnologia.
Bibliografia: Probability and Statistics. Morris H. DeGroot. Addison-Wesley.
Programa: Espaços amostrais e eventos; Probabilidade condicional; Variáveis aleatórias e distribuições deprobabilidade; Valores esperados; Principais distribuições de probabilidade; Lei dos grandes números e teorema central do limite
 
 

2. Pós-Graduação:

A large time asymptotics and numerics for heat, dissipative wave equations and coupled systems

Início do Curso: 03 de janeiro
Horário: a ser definido
Professor: Dr. Enrique Zuazua (Universidade Autonoma de Madrid)

Resumo: In these lectures we will present some methods and results arising in the study of the large time dynamics of systems described by means of  parabolic or dissipative wave equations.

We shall first discuss the classical linear wave and heat equations with constant coefficients in which, by means of the Fourier representation formula, one can get a very sharp escription of  the solutions. We shall also exhibit a  decomposition lemma,  allowing to decompose integrable functions on the basis constituted by the Dirac delta and its derivatives, using the momenta of the function as coefficients, that can be used to obtain asymptotic expansions at any order.

We shall then analyze parabolic equations. First  of all we shall show how using integration by parts, Hölder and Sobolev's inequalities one can obtain sharp $L^p-L^q$ estimates in a
nonlinear context. We shall then describe how a suitable use of Lyapunov functions, LaSalle's invariance principle and scaling arguments allows getting the leading term on the
asymptotic expansion of solutions for a class of nonlinear heat equations involving nonvective terms.

We shall also show how the use of Hardy's  inequalities and its improved versions may play a fundamental role on the description of the asymptotic behavior in the presence of singular potentials.

Parabolic equations in periodic media will also be considered. In this case the Fourier analysis needs to be replaced by the Bloch wave analysis which allows getting a sharp description of solutions. The asymptotic expansion we get reflects the periodicity of the medium that plays a fundamental role on determining the shape of its terms at any order.

Later we will analyze the problem of decay for solutions of damped wave equations. First of all, using multiplier techniques, we prove that the exponential decay of solutions holds provided the damping term is active in a suitable subdomain. We then analyze semilinear problems. First we show that the same multiplier techniques allow handeling nonlinear perturbations, provided they enter in the framework of energy methods. Finally, we show that combining multipliers and Strichartz-like estimates one can extend these results up to the critical exponent on the nonlinear term.

The asymptotic behavior of the system of thermoelasticity will be dicussed as well..

Finally, we shall briefly discuss to which extent the most natural numerical approximation schemes reproduce the asymptotic behavior of these systems .

We shall also present some open problems in the subject.

Equação do calor não linear: Soluções estacionárias regulares e singulares, soluções auto-semelhantes explosivas e aplicações

Início do Curso: 03 de janeiro
Horário: a ser definido
Professor: Tierry Cazenave (CNRS/ Université Pierre et Marie Curie - França)

Resumo:   Resultados recentes sobre a estabilidade das soluções estacionárias regulares e singulares e sobre a existência de soluções auto-semelhantes explosivas para potências maiores do exponente crítico de Sobolev estão sendo usados para estabelecer propriedades finas das soluções explosivas assim como das soluções globais (resultados recentes de Herrero-Velázquez, Brezis-Cazenave-Martel-Ramiandrisoa, Martel, Galaktionov-Vázquez, Matano-Merle). Esta área está em pleno desenvolvimento e oferece numerosos problemas abertos.

    O objectivo do curso é de apresentas os resultados recentes mais
significativos assim como os problemas abertos mais interessantes.

Programa:

1. Equacões elíticas não lineares: Soluções regulares e singulares.
2. Equação do calor não linear: soluções auto-semelhantes
explosivas, inclusive para potências maiores do exponente
crítico de Sobolev.
3. Aplicações ao estudo da explosão em tempo finito (velocidade de
explosão, explosão total) e do comportamento no infinito das
soluções globais (estimativas uniformes).
 

Homogenization and compensated compactness 

Início do Curso: 10 de fevereiro
Horário: a ser definido
Professor: Dr. François Murat (CNRS/ Université Pierre et Marie Curie - França)

Programme: Motivation - composite materials, optimal design
The one dimensional case; the layered case
Definition of the H-convergence
The main theorem: from any sequence of equi-bounded and equi-coercive
matrices, one can extract a subsequence which H-converges
Compensated compactness: the div-curl lemma; the general setting
Proof of the main result
The corrector result
The periodic case
The case of nonlinear monotone operators
The case of perforated domains: Neumann's boundary condition; Dirichlet
boundary condition

Introdução à Computação Paralela em Métodos Numéricos para EDPs

Início do Curso:    10 de janeiro
Horário: a ser definido
Professores: Bruno Costa e Wai Sun Don (Brown University)

Resumo: O recente aumento na capacidade computacional de computadores de baixo custo e o desenvolvimento de protocolos para computação em paralelo, como o MPI,para sistemas operacionais universalizados, como o LINUX, tornou acessível e funcional a implementação de métodos numéricos para a solução de sistemas de EDPs de grande porte. Desta forma, modelos matemáticos, complexos pelo grande número de varíaveis envolvidas, antes restritos aos grandes centros de pesquisa, podem agora ser tratados em insitituições de ensino com modestos recursos computacionais.

Este mini-curso objetiva a iniciação de estudantes avançados da graduação em Matemática na resolução numérica de Equações a Derivadas Parciais com técnicas de computação em paralelo. A idéia é conjugar os esquemas numéricos clássicos com a metodologia de divisão dinâmica e comunicação do conjunto de dados entre od vários processadores associados. Para tal, exemplos clássico e simples como a Equação de Burgers em uma e duas dimensões espaciais serão utilizados como objeto de trabalhodo curso, que possivelmente, pode serem estendidos a casos um pouco mais complexos como as Equações de Euler na forma compressível.

O mini-curso se estruturará nos seguintes tópicos:
1) Resolução da Equação de Burgers via Métodos Espectrais na forma da computação sequencial
2) Introdução ao Protocolo MPI em sistemas LINUX
3) Treinamento na utilização do Software PseudoPack, um pacote de rotinas em Fortran 90 para a solução de EDPs
4) Implementação em paralelo de um solver para as Equações de Burgers.

Todas as aulas serão divididas em teóricas e práticas. Ao final do mini-curso, o aluno terá construído um protótipo de fácil modificação para usos em outros modelos matemáticos.